Question

已知z₁、z₂是两非零复数,且|z₁+z₂|=|z₁－z₂|,求证:（）²是负数.

Answer 1

证明:方法一:（化归思想）

设z₁=a+bi,z₂=c+di（a、b、c、dR）,则|z₁+z₂|=,

|z₁－z₂|=.

∵|z₁+z₂|=|z₁－z₂|,

∴2ac+2bd=－2ac－2bd,即ac+bd=0.

而==i,

又∵z₁≠0,z₂≠0,∴≠0.

∴为纯虚数.故（）²是负数.

方法二:（整体思想）

∵|z₁+z₂|=|z₁－z₂|,z₂≠0,两边同除以|z₂|得|+1|=|－1|.                          ①

把作为整体,设=x+yi（x、yR）.

①式可转化为|（x+1）+yi|=|（x－1）+yi|,解之得x=0.

又∵z₁≠0,∴y≠0.∴为纯虚数.

故（）²为负数.

方法三:（用模的性质）

|z₁+z₂|=|z₁－z₂||z₁+z₂|²=|z₁－z₂|²

（z₁+z₂）（z₁+z₂）－（z₁－z₂）（z₁－z₂）=0z₁+z₂=0.

又∵z₁≠0,z₂≠0,

∴z₁≠0,z₂≠0.两边同除以z₂得+（）=0.

∴为纯虚数.故（）²是负数.

方法四:（用模的几何意义）

由方法二得|+1|=|－1|,此方程表示在复平面内对应点Z到点A（1,0）和到点B（－1,0）的距离相等,故点Z在AB的垂直平分线上,即在y轴（除去（0,0）点）上,即点Z在虚轴上.∴为纯虚数.故（）²为负数.

点评:不同的证明方法体现不同的数学思想,但整体思路都是想证明为纯虚数.