Question

3．如图，过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B，若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=0，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
• C． $\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
• D． $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$

Answer 1

分析 根据（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=0，可得△ABF₂是等腰三角形，设AF₂=m，AF₁=x，根据双曲线的基本性质及△ABF₂是等腰三角形，用m分别表示出x，a，c，进而求得离心率$\frac{c}{a}$．

解答 解：∵（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=0
∴△ABF₂是等腰三角形，
设AF₂=m，AF₁=x
又AB=AF₂，则BF₁=m-x=2a，BF₂=$\sqrt{2}m$．
BF₂-BF₁=2a，即$\sqrt{2}m$-2a=2a，故a=$\frac{\sqrt{2}}{4}$m，
又m-x=2a，解得x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$m，
在△AF₁F₂中，由勾股定理知，2c=$\sqrt{{m}^{2}+{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10-4\sqrt{2}}}{2}$m
所以双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
故选B．

点评 本题考查了双曲线的基本性质及其灵活运用，属于中档题型．