Question

【题目】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体.如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体如图所示，余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为2，则这个半正多面体的体积为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

设原正四面体为，可知其棱长为，再求出，，的长度，在中，求出正四面体的高，根据锥体体积公式求出原正四面体为的体积；同理可求出从原几何体中割去的其中一个小正四面体的体积，再根据，即可求出这个半正多面体的体积.

设原正四面体为，如下图所示：

由题意可知，正四面体的棱长，设为底面的中心，是边中点，则正四面体的高，则

所以在中，，

所以原正四面体为的体积为；

设从原几何体中割去的其中一个小正四面体为，如下图所示：

则小正四面体的棱长，设为底面的中心，是边中点，则小正四面体的高，则

所以在中，，

所以小正四面体为的体积为；

所以从原几何体中割去四个小正四面体体积为，

所以这个半正多面体的体积为.

故答案为：.