Question

若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x₀，使f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）（k为常数），则称“f（x）关于k可线性分解”．
（1）函数f（x）=2^x+x²是否关于1可线性分解？请说明理由；
（2）已知函数g（x）=lnx-ax+1（a＞0）关于a可线性分解，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，当a取最小整数时；
（i）求g（x）的单调区间；
（ii）证明不等式：（n!）²≤e^n（n-1）（n∈N^*）．

Answer 1

（1）函数f（x）=2^x+x²是关于1可线性分解，理由如下：
令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1=2（2^x-1+x-1）
∴h（0）=-1＜0，h（1）=2
∴h（x）在（0，1）上至少有一个零点
即存在x₀∈（0，1），使f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）；
（2）由已知，存在实数x₀，使g（x₀+a）=g（x₀）+g（a）（a为常数），
即ln（x₀+a）-a（x₀+a）+1=lnx₀-ax₀+1+lnx-a²+1
∴ln

x0+a

ax0

=1
∴

x0+a

ax0

=e
∴x₀=

a

ae-1

＞0
∵a＞0，∴a＞

1

e

；
（3）（i）由（2）知，a=1，g（x）=lnx-x+1，g′(x)=

1-x2

x

（x＞0）
∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）的增区间是（0，1）；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）的减区间是（1，+∞）；
（ii）证明：由（i）知x∈（0，+∞），g（x）≤g（1），即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1
∴ln1=0，ln2＜1，ln3＜2，…，lnn＜n-1
相加得：ln1+ln2+…+lnn≤1+2…+（n-1）
即lnn!≤

n(n-1)

2

∴（n!）²≤e^n（n-1）（当且仅当n=1时取“=”号）．