Question

已知，在水平平面α上有一长方体AC₁绕BC旋转90°得到如图1所示的几何体．
（Ⅰ）证明：平面BCD₁A₁⊥平面BCD₂A₂；
（Ⅱ）当BC=1时，且长方体AC₁体积为4时，求四棱锥A₁-BCD₂A₂体积的最小值．

Answer 1

分析：（I）欲证平面BCD₁A₁⊥平面BCD₂A₂，只需在平面BCD₁A₁内找一直线垂直平面BCD₂A₂，而A₁B⊥BA₂，BC⊥A₁B，BC∩BA₂=B，满足线面垂直的判定定理，从而A₁B⊥平面BCD₂A₂，A₁B?平面BCD₁A₁，满足面面垂直的判定定理；
（II）设AB=a，AA₁=b，四棱锥A₁-BCD₂A₂的体积为V，根据长方体AC₁的体积为4，则ab=4，V=

1

3

×BC×BA2×A1B然后利用基本不等式求出最小值，即可求出所求，注意等号成立的条件．

解答：证明（I）证明：∵△A₁BB₁≌△EBA₂，
∴∠A₁BB₁=∠BA₂E，
∵∠BA₂E+∠EBA₂=90°，
∴∠A₁BB₁+∠EBA₂=90°，
即 A₁B⊥BA₂
又∵BC⊥A₁B（2分）
∵BC∩BA₂=B
∴A₁B⊥平面BCD₂A₂，（4分）
又∵A₁B?平面BCD₁A₁（5分）
∴平面BCD₁A₁⊥平面BCD₂A₂（6分）
（II）设AB=a，AA₁=b，四棱锥A₁-BCD₂A₂的体积为V，
∵长方体AC₁的体积为4，
∴ab=4，（7分）
由（1）知，A₁B⊥平面BCD₂A₂，
∴V=

1

3

×BC×BA2×A1B=

1

3

×1×

a2+b2

×

a2+b2

=

1

3

(a2+b2)≥

2

3

ab=

8

3

，（10分）
当且仅当a=b=2时，等号成立，（11分）
所以四棱锥A₁-BCD₂A₂的体积的最小值为

8

3

．（12分）

点评：本题主要考查了面面垂直的判定，以及锥体的体积的度量，同时考查了论证推理能力，属于中档题．