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6.为绘制海底地貌图,测量海底两点C,D间的距离,海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,C,D在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得∠BAC=30°,∠DAC=45°,∠ABD=45°,∠DBC=75°,同时测得$AB=\sqrt{3}$海里.
(1)求AD的长度;
(2)求C,D之间的距离.

分析 (1)先求得∠BAD=75°,可得∠ADB=60°,利用条件以及正弦定理求得AD的值.
(2)先求得BC、AB的值,可得△ABC为等腰三角形,可得AC的值,在△ACD中,由余弦定理求得CD的值.

解答 解:(1)如图所示,在△ABD中,
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+45°=75°,
∴∠ADB=60°,
由正弦定理可得,$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sin∠ABD}$,$AD=\frac{{\sqrt{3}sin45°}}{sin60°}=\sqrt{2}$.
(2)∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°+75°=120°,∠BAC=∠BCA=30°,
∴$BC=AB=\sqrt{3}$,∴AC=3.
在△ACD中,由余弦定理得,CD2=AC2+AD2-2AC•ADcos∠DAC=5,
即$CD=\sqrt{5}$(海里)…(13分)
答:$AD=\sqrt{2}$,C,D间的距离为$\sqrt{5}$海里.

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.

练习册系列答案
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