Question

已知函数f(x)=sin(

π

2

+x)cos(-x)+4sin

x

2

cos3

x

2

-sinx，
（Ⅰ）求函数f（x）在x∈[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，BC=2，S_△ABC=1，求AC边的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函数解析式第一项的第一个因式利用诱导公式化简，第二个因式利用余弦函数为偶函数化简，第二项把cos³

x

2

分为cos

x

2

•cos²

x

2

，利用二倍角的正弦函数公式化简后，后两项提取sinx，再利用二倍角的余弦函数公式化简，然后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，提取

2

后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得出正弦函数的值域，进而确定出函数的值域；
（Ⅱ）由第一问确定的函数f（x）的解析式，根据f（A）=1，整理后利用同角三角函数间的基本关系求出tanA的值，再利用特殊角的三角函数值求出A的度数，

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（

π

2

+x）cos（-x）+4sin

x

2

cos³

x

2

-sinx，
=cos²x+2•2sin

x

2

cos

x

2

•cos²

x

2

-sinx
=cos²x+sinx（2cos²

x

2

-1）
=cos²x+sinxcosx
=

1

2

（cos2x+sin2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴f（x）的值域是[0，

2 +1

2

]；
（Ⅱ）∵f（A）=cos²A+sinAcosA=1，
∴sinAcosA=1-cos²A=sin²A，
∴sinA=cosA，
∴A=

π

4

，
∵BC=a=2，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²-

2

bc=4①，
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

4

bc=1，∴bc=2

2

②，
联立①②解得：b=

4±2 2

，
则AC=b=

4±2 2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的恒等变形，涉及的公式有：诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．