Question

【题目】已知二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（ ）

A.45πB.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

设AB＝x，（0＜x＜6），则，由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，取AB的中点为G，推导出△EGH的外接圆直径，从而，当x时，OB2的最小值为，由此能求出该球的表面积的最小值．

设AB＝x，（0＜x＜6），则，

由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，

且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，

OB为三棱锥外接球半径，取AB的中点为G，如图，

由条件知

在△EGH中，由余弦定理可得

∴△EGH的外接圆直径，

当时，OB2的最小值为，

∴该球的表面积的最小值为.

故选：B．