【题目】已知椭圆
过点
且椭圆的短轴长为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知动直线
过右焦点
，且与椭圆分别交于
两点.试问
轴上是否存在定点
，使得，
恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）存在，
【解析】
（Ⅰ）由椭圆性质可知
,点代入即可求得结果.
（Ⅱ）假设存在定点
符合题意，①当直线
的斜率不存在时，由
解得
或
；②当直线的斜率为0时,解得
或.由①②可得,然后证明当时,通过方程联立,借助韦达定理,坐标表示即可证得结论.
解：（Ⅰ）因为椭圆
过点
，所以
.
又椭圆的短轴长为
，所以，所以
，
解得
.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）假设在
轴上存在定点，使得，
①当直线的斜率不存在时，则
，
，
，
由
，解得或；
②当直线的斜率为0时，则
，
，
，
由
，解得或.
由①②可得，即点
的坐标为
.
下面证明当时，恒成立，当直线的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.
当直线斜率存在且不为0时，设其方程为
，
，
，
由
，得
，
直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，
且
，
.
，
所以
.
综上所述，在轴上存在定点，使得恒成立..
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【题目】已知点
是抛物线
：
的焦点，点
为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为
，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】如图，在直角梯形
中，
，
，
，
为
的中点，沿
将
折起，使得点
到点
位置，且
，
为
的中点，
是
上的动点（与点
，
不重合）.
（Ⅰ）证明：平面
平面
垂直；
（Ⅱ）是否存在点，使得二面角
的余弦值
？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.
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【题目】已知
，
，动点
满足直线
与直线
的斜率之积为
，设点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）若过点
的直线
与曲线交于
，
两点，过点
且与直线垂直的直线与
相交于点
，求
的最小值及此时直线的方程.
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【题目】如图，四棱锥
中，底面
是直角梯形，
,
，
,侧面
底面,且
是以
为底的等腰三角形.
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若四棱锥的体积等于
.问：是否存在过点
的平面
分别交
，
于点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的面积；若不存在，请说明理由.
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【题目】在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的参数方程为
（
为参数），以该直角坐标系的原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（Ⅰ）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线交曲线于，
两点，交曲线于，
两点，求
的长.
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【题目】已知椭圆C：
（
）的一个焦点为
，点
在C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点
且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为
，
，
与
相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上.
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