Question

4．已知$n=\int\begin{array}{l}{e^6}\\ 1\end{array}\frac{1}{x}dx$，那么${（\sqrt{x}-\frac{5}{x}）^n}$的展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项的系数为-30．

Answer 1

分析 由定积分求出n=6，从而T_r+1=（-5）^6-r${C}_{6}^{r}$${x}^{\frac{3}{2}r-6}$，令$\frac{3}{2}r-6=\frac{3}{2}$，解得r=5，由此能求出${（\sqrt{x}-\frac{5}{x}）^n}$的展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项的系数．

解答 解：∵$n=\int\begin{array}{l}{e^6}\\ 1\end{array}\frac{1}{x}dx$=（lnx）${|}_{1}^{{e}^{6}}$=lne⁶-ln1=6，
∴${（\sqrt{x}-\frac{5}{x}）^n}$=${（\sqrt{x}-\frac{5}{x}）^6}$，
T_r+1=${C}_{6}^{r}（\sqrt{x}）^{r}（-\frac{5}{x}）^{6-r}$=（-5）^6-r${C}_{6}^{r}$${x}^{\frac{3}{2}r-6}$，
令$\frac{3}{2}r-6=\frac{3}{2}$，解得r=5，
∴${（\sqrt{x}-\frac{5}{x}）^n}$的展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项的系数为：${（-5）^{1}C}_{6}^{5}$=-30．
故答案为：-30．

点评 本题考查展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项的系数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意定积分、函数性质的合理运用．