Question

某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．

Answer 1

分析：（I）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；
（II）由（I）中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n    …（3分）
=14.4+

0.2n(n+1)

2

+0.9n…（5分）
=0.1n²+n+14.4…（7分）
（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有S=

1

n

f(n)=

1

n

(0.1n2+n+14.4)…（9分）
=

n

10

+

14.4

n

+1≥2

1.44

+1
=2×1.2+1=3.4
仅当

n

10

=

14.4

n

，即n=12时，等号成立．…（13分）
故：汽车使用12年报废为宜．…（14分）

点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中（I）的关键是由等差数列前n项和公式，得到f（n）的表达式，（II）的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点．