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已知H是△ABC的垂心,且AH=BC,试求∠A的度数.
考点:平面向量数量积的运算
专题:计算题,平面向量及应用
分析:设△ABC的外接圆的半径为R,点O是外心,利用三角形外心和垂心的性质,有
OH
=
OA
+
OB
+
OC
,而AH=BC?
AH
2
=
BC
2
,利用向量数量积得出关于A的关系式求解.
解答: 解:设△ABC的外接圆的半径为R,点O是外心,H是△ABC的垂心,则
OH
=
OA
+
OB
+
OC

AH
=
OH
-
OA
=
OB
+
OC
,AH2=(
OB
+
OC
2=2R2(1+2cos2A),
BC
=
OC
-
OB
,BC2=(
OC
-
OB
2=2R2(1-2cos2A)   
∵AH=BC,∴1+2cos2A=1-2cos2A,得cos2A=0,
∵∠A为△ABC的内角,∴0°<2A<360°,
∴2A=90°或270°,
∠A=45°或135°.
点评:本题考查平面向量的应用,涉及到向量加法减法,向量数量积等运算,其中
OH
=
OA
+
OB
+
OC
是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知sinα+cosα=
1
5
,α∈(0,π),则sin2α=(  )
A、-
24
25
B、
12
25
C、-
4
3
或-
3
4
D、
3
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,a+c=2b,A-C=
3
.求sinB的值.

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已知f(log2x)=
ax+b
x+
2
(a∈R,x>0)
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)判断并用单调性定义证明函数y=f(x)的单调性.

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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=
3
x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为(  )
A、
x2
9
-
y2
27
=1
B、
x2
27
-
y2
9
=1
C、
x2
108
-
y2
36
=1
D、
x2
36
-
y2
108
=1

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科目:高中数学 来源: 题型:

一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h=t2,求t=4s时此球在垂直方向的瞬时速度.

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私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]
频数510151055
赞成人数469634

(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图;
(Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.

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已知命题p:“?x∈R,2x2+(m-1)x+
1
2
≤0”,命题q:“曲线C1
x2
m2
+
y2
2m+8
=1表示焦点在x轴上的椭圆”.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.

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我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表:

空气污染指数空气质量空气污染指数空气质量
0--50201--250中度污染
51--100251--300中度重污染
101--150轻微污染>300重污染
151----200轻度污染
我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天,101--200时称作B类天,大于200时称作C类天.
下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本,其茎叶图如下:(百位为茎,十、个位为叶)

(Ⅰ)从这18天中任取3天,求至少含2个A类天的概率;
(Ⅱ)从这18天中任取3天,记X是达到A类或B类天的天数,求X的分布列及数学期望.

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