Question

16、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面．

（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA⊥面ABCD，E为AB中点，求证面SEC⊥面SCD．

Answer 1

分析：（1）由 SA⊥AB，SA⊥AD 可得，存在一条侧棱SA垂直于底面．
（2）分别取SC、SD的中点G、F，可证AF∥EG．证明CD⊥AF，AF⊥SD，从而证明 AF⊥面SCD，故EG⊥面SCD，从而证得面SEC⊥面SCD．

解答：解：（1）存在一条侧棱垂直于底面．
证明：∵SA⊥AB，SA⊥AD，且AB、AD是面ABCD内的交线，
∴SA⊥底面ABCD．
（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，
则GF∥EA，GF=EA，∴AF∥EG．
而由SA⊥面ABCD得 SA⊥CD，
又AD⊥CD，∴CD⊥面SAD，∴CD⊥AF，
又SA=AD，F是中点，∴AF⊥SD，
∴AF⊥面SCD，EG⊥面SCD，∴面SEC⊥面SCD．

点评：本题考查证明线面垂直、面面垂直的方法，体现了数形结合的数学思想，证明AF⊥面SCD是解题的关键．