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    设x＞y＞z，n∈N，则
    1
    x-y
    +
    1
    y-z
    ≥
    n
    x-z
    恒成立，则nmax=
    4
    4
    ．
    分析：由x＞y＞z，知x-y＞0，y-z＞0，x-z＞0，从而
    1
    x-y
    +
    1
    y-z
    ≥
    n
    x-z
    恒成立，即
    x-z
    x-y
    +
    x-z
    y-z
    ≥n    恒成立，等价于(
    x-z
    x-y
    +
    x-z
    y-z
    )min    ≥n，利用基本不等式可求得最小值．
    解答：解：∵x＞y＞z，
    ∴x-y＞0，y-z＞0，x-z＞0，
    ∴
    1
    x-y
    +
    1
    y-z
    ≥
    n
    x-z
    恒成立，
    即
    x-z
    x-y
    +
    x-z
    y-z
    ≥n    恒成立，等价于(
    x-z
    x-y
    +
    x-z
    y-z
    )min    ≥n，
    ∵
    x-z
    x-y
    +
    x-z
    y-z
    =
    x-y+y-z
    x-y
    +
    x-y+y-z
    y-z
    =
    y-z
    x-y
    +
    x-y
    y-z
    +2≥2
    y-z
    x-y
    •
    x-y
    y-z
    +2=4，
    当且仅当y-z=x-y，即2y=x+z时取得等号，
    ∴(
    x-z
    x-y
    +
    x-z
    y-z
    )min    =4，
    ∴n≤4，
    即nmax=4，
    故答案为：4．
    点评：本题考查基本不等式的应用及恒成立问题，恒成立问题常转化为最值解决，使用基本不等式求最值注意条件：一正、二定、三相等．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）设x＞y＞z，n∈R*，且
    1
    x-y
    +
    1
    y-z
    ≥
    n
    x-z
    恒成立，求n的最大值．
    （2）已知函数f（x）=2x的反函数是f-1（x），若f-1（a）+f-1（b）=4（a，b∈R*），求
    1
    a
    +
    4
    b
    的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知x，y∈Z，n∈N*，设f（n）是不等式组
    x≥1
    0≤y≤-x+n
    ，表示的平面区域内可行解的个数，归纳推理f（n）=
    n(n+1)
    2
    n(n+1)
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设x＞y＞z，n∈Z，且
    1
    x-y
    +
    1
    y-z
    ≥
    n
    x-z
    恒成立，则n的最大值是（　　）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    设x＞y＞z，n∈Z，且
    1
    x-y
    +
    1
    y-z
    ≥
    n
    x-z
    恒成立，则n的最大值是（　　）
    A．2B．3C．4D．5

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