Question

已知椭圆C：+=1的两个焦点分别是F₁（-1，0）、F₂（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点F₂的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点Q（x，y），求y的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定椭圆C的半焦距，再利用焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项，求出a的值，从而可得椭圆的标准方程；
（2）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，确定线段MN的垂直平分线方程，可得Q的纵坐标，利用基本不等式，即可求得y的取值范围．
解答：解：（1）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得c=1．…（1分）
由题意焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项，得4c=2a，∴a=2
∴b²=a²-c²=3．…（4分）
故椭圆C的方程为 ．…（6分）
（2）解：当MN⊥x轴时，显然y=0．…（7分）
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
代入椭圆方程，消去y整理得（3+4k²）x²-8k² x+4（k²-3）=0．…（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₃，y₃），则x₁+x₂=．…（10分）
所以x₃=，y₃=k（x₃-1）=，
∴线段MN的垂直平分线方程为y+=-（x-）．
在上述方程中令x=0，得y==．…（12分）
当k＜0时，≤-4；当k＞0时，．
所以≤y＜0，或0＜y≤．…（13分）
综上，y的取值范围是[，]．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．