【题目】如图所示,以2为半径的半圆弧所在平面垂直于矩形所在平面,是圆弧上异于、的点.
(1)证明:平面平面;
(2)当四棱锥的体积最大为8时,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)由平面平面,可得平面,得,又,从而得到平面利用面面垂直的判定定理即可得到证明;(2)由题意可知在圆弧的中点上且在、上取中点、,以点O为原点,OE,OB,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求平面SAD和平面SCD的法向量,然后利用向量的夹角公式进行运算即可.
(1)由已知,平面平面,交线为,
且,平面
所以平面,故
是圆弧上异于、的点,且为直径,所以
又,所以平面
又平面,所以平面平面
(2)显然当四棱锥的体积最大时,在圆弧的中点上,
,所以
分别在、上取中点、,则可得、、三者两两垂直,
分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,
,,
因为平面,可取是平面的一个法向量
设是平面的法向量
所以,
取,可得,,
设平面与平面所成的锐二面角大小为
则
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【题目】设、为抛物线上的两点,与的中点的纵坐标为4,直线的斜率为.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点,、为抛物线(除原点外)上的不同两点,直线、的斜率分别为,,且满足,记抛物线在、处的切线交于点,若点、的中点的纵坐标为8,求点的坐标.
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【题目】某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示),该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条线段围成.设圆弧、所在圆的半径分别为、米,圆心角为(弧度).
(1)若,,,求花坛的面积;
(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为元/米,弧线部分的装饰费用为元/米,预算费用总计元,问线段的长度为多少时,花坛的面积最大?
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【题目】如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.
(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;
(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.
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【题目】已知函数f(x)=x+,且此函数的图象过点(1,5).
(1)求实数m的值并判断f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在[2,+∞)上的单调性,证明你的结论.
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