Question

19．若在定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）是“可拆函数”．
（1）函数f（x）=$\frac{k}{x}$是否是“可拆函数”？请说明理由；
（2）若函数f（x）=2x+b+2^x是“可拆函数”，求实数b的取值范围：
（3）证明：f（x）=cosx是“可拆函数”．

Answer 1

分析 （1）当k=0时，易知是“可拆函数”；当k≠0时，方程可化为x²+x+1=0，从而判断；
（2）若函数f（x）=2x+b+2^x是“可拆函数”，化简可得b=2^x-2有解，从而解得；
（3）由题意知判断方程cos（x+1）=cosx+cos1是否有解即可．

解答 解：（1）当k=0时，f（x）=0，是“可拆函数”；
当k≠0时，
f（x+1）=$\frac{k}{x+1}$，f（1）=k，
故$\frac{k}{x+1}$=$\frac{k}{x}$+k，
即x²+x+1=0，
方程无解，
故f（x）=$\frac{k}{x}$不是“可拆函数”；
（2）若函数f（x）=2x+b+2^x是“可拆函数”，
则方程f（x+1）=f（x）+f（1）有解，
即2（x+1）+b+2^x+1=2x+b+2^x+2+b+2有解，
即b=2^x-2有解，
故b＞-2；
（3）证明：令f（x+1）=f（x）+f（1），
即cos（x+1）=cosx+cos1，
即cosxcos1-sinxsin1-cosx=cos1，
即（cos1-1）cosx-sinxsin1=cos1，
故存在θ，
故$\sqrt{（cos1-1）^{2}+si{n}^{2}1}$cos（x+θ）=cos1，
即$\sqrt{2-2cos1}$cos（x+θ）=cos1，
即cos（x+θ）=$\frac{cos1}{\sqrt{2-2cos1}}$，
∵cos²1-（2-2cos1）
=cos²1+2cos1-2
＜cos²$\frac{π}{4}$+2cos$\frac{π}{4}$-2=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$-2＜0，
故0＜$\frac{cos1}{\sqrt{2-2cos1}}$＜1，
故方程cos（x+1）=cosx+cos1有解，
即f（x）=cosx是“可拆函数”．

点评 本题考查了学生的接受能力及分类讨论的思想应用，同时考查了三角函数的化简与应用．