Question

11．设F₁，F₂分别是椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜1）的左，右焦点，过F₁的直线L与椭圆相交于A，B两点，|AB|=$\frac{4}{3}$，直线L的斜率为1，则b的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 通过椭圆方程可知F₁（-$\sqrt{1-{b}^{2}}$，0）、F₂（$\sqrt{1-{b}^{2}}$，0），通过过F₁的直线L的斜率为1可知其方程为y=x+$\sqrt{1-{b}^{2}}$，联立直线L与椭圆方程，利用两点间距离公式计算即得结论．

解答 解：依题意，F₁（-$\sqrt{1-{b}^{2}}$，0），F₂（$\sqrt{1-{b}^{2}}$，0），
∵过F₁的直线L的斜率为1，
∴直线L的方程为：y=x+$\sqrt{1-{b}^{2}}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线L与椭圆方程，消去y整理得：
（1+b²）x²+$2\sqrt{1-{b}^{2}}$x+1-2b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{1-{b}^{2}}}{1+{b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1-2{b}^{2}}{1+{b}^{2}}$，
∴|AB|=$\frac{4}{3}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•$$\sqrt{\frac{4（1-{b}^{2}）-4（1-2{b}^{2}）}{（1+{b}^{2}）^{2}}}$
=$\frac{2\sqrt{2}b}{1+{b}^{2}}$，
解得：b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．