Question

(本题满分13分) 如图，是离心率为的椭圆,

：()的左、右焦点，直线：将线段分成两段，其长度之比为1 : 3．设是上的两个动点，线段的中点在直线上，线段的中垂线与交于两点．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 是否存在点，使以为直径的圆经过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ) 存在两点符合条件，坐标为，理由见解析

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 设，则＝，所以＝1．

因为离心率e＝，所以＝．

所以椭圆C的方程为．                                                       ……5分

 (Ⅱ) 当直线垂直于轴时，直线方程为＝－，

此时(，0)、(,0) ，．不合题意；                            ……7分

当直线不垂直于轴时，设存在点(－，) (≠0)，直线的斜率为，

．

由  得＝0，则，

故．此时，直线斜率为，的直线方程为．

即．

联立 消去，整理得．

所以，．                                            ……10分

由题意0，于是

                       =0．

因为在椭圆内，符合条件；

综上，存在两点符合条件，坐标为．                                ……13分

考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆位置关系的判断和应用以及向量数量积的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.

点评：设直线方程时，要考虑到直线方程斜率是否存在；对于探究性问题，可以先假设存在，再进行计算，如果能求出来，就说明存在，如果求不出来或者得出矛盾，则说明不存在.