Question

已知命题：“x∈R，都有不等式|2x-1|+|x+2|+2x-m²-2m+2≥0成立”是真命题，
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x+3a）（x-a+2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据不等式恒成立，建立等价条件即可求实数m的取值集合B；
（2）根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：（1）命题：“?x∈{x|-1≤x≤1}，都有不等式x²-x-m＜0成立”是真命题，
得x²-x-m＜0在-1≤x≤1恒成立，
∴m＞（x²-x）_max得m＞2即B=（2，+∞）．
（2）不等式（x-3a）（x-a-2）＜0
①当3a＞2+a，即a＞1时解集A=（2+a，3a），若x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则A⊆B，∴2+a≥2此时a∈（1，+∞）．
②当3a=2+a，即a=1时解集A=φ，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立．
③当3a＜2+a，即a＜1时解集A=（3a，2+a），
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立，
∴3a≥2此时a∈[

2

3

，1)．
综上①②③：a∈[

2

3

，+∞)．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题的求解以及充分条件和必要条件的应用，注意要对参数进行分类讨论．