Question

（2013•河西区一模）已知对称中心为坐标原点的椭圆C₁与抛物线C₂：x²=4y有一个相同的焦点F₁，直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点．
（1）求直线l的方程；
（2）若椭圆C₁经过直线l上的点P，当椭圆C₁的离心率取得最大值时，求椭圆C₁的方程及点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点，所以x²=4（2x+m）只有唯一解，从而可求m的值，即可得到直线l的方程；
（2）椭圆两焦点F₁（0，1），F₂（0，-1），椭圆过直线l上的点P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF₁|+|PF₂|有最小值，只需求F₂关于直线L的对称点F₃到F₁的距离即可．

解答：解：（1）又因为直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点，所以x²=4（2x+m）只有唯一解，所以x²-8x-4m=0只有唯一解，所以64+16m=0，所以m=-4，∴直线l的方程为：y=2x-4．
 （2）抛物线C₂：x²=4y的焦点坐标为F₁（0，1），所以椭圆C₁中，c=1，焦点在y轴上，
所以椭圆两焦点F₁（0，1），F₂（0，-1）．
椭圆又过直线l上的点P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF₁|+|PF₂|有最小值，
只需求F₂关于直线L的对称点F₃到F₁的距离即可．
设F₂关于直线L的对称点F₃（m，n），
∴

n+1 m-0 ×2=-1 n-1 2 =2× m 2 -4

，解得

m= 12 5 n=- 11 5

，
即F₃（

12

5

，-

11

5

），所以直线F₁F₃方程为：

y-1

- 11 5 -1

=

x

12 5

，即y=-

4

3

x+1，
与直线l联立

y=- 4 3 x+1 y=2x-4

，可得

x= 3 2 y=-1

，即P（

3

2

，-1）；
此时椭圆C₁中，2a=|F₁F₃|=4，
∴a²=4，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程为

y2

4

+

x2

3

=1

点评：本题考查直线与椭圆的方程，解题的关键是使椭圆的离心率最大，只需|PF₁|+|PF₂|有最小值，只需求F₂关于直线L的对称点F₃到F₁的距离即可．