Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足2S_n+a_n=1，数列{b_n}中，b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+2}}$（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=$\frac{a_n}{b_n}$，T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n是否存在m使T_n≥$\frac{3}{4}$-m恒成立，若存在求出m的范围，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出{a_n}是公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，a₁=$\frac{1}{3}$．从而求出a_n．数列{b_n}中，b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+2}}$（n∈N^*），得到$\frac{1}{{b}_{1}}=1$，d=$\frac{1}{{b}_{2}}-\frac{1}{{b}_{1}}$=1，由此能求出b_n．
（2）数列{c_n}满足c_n=$\frac{a_n}{b_n}$=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，利用错位相减法求出T_n=$\frac{3}{4}-\frac{3+2n}{4}×\frac{1}{{3}^{n}}$．从而$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$≤m，由此利用导数性质能求出m的范围．

解答 解：（1）由2S_n+a_n=1，得S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（1-a_n）-$\frac{1}{2}$（1-a_n-1）=-$\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，
即2a_n=-a_n+a_n-1，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，由题意可知a_n-1≠0．
∴{a_n}是公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
而S₁=a₁=$\frac{1}{2}$（1-a₁），
∴a₁=$\frac{1}{3}$．∴a_n=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ．
∵数列{b_n}中，b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+2}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{b}_{1}}=1$，$\frac{1}{{b}_{2}}$=2，d=$\frac{1}{{b}_{2}}-\frac{1}{{b}_{1}}$=1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}+（n-1）d$=1+n-1=n，
∴b_n=$\frac{1}{n}$．
（2）数列{c_n}满足c_n=$\frac{a_n}{b_n}$=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=1$•\frac{1}{3}+2•（\frac{1}{3}）^{2}+3•（\frac{1}{3}）^{3}+…+n•（\frac{1}{3}）^{n}$，①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$1•（\frac{1}{3}）^{2}+2•（\frac{1}{3}）^{3}+3•（\frac{1}{3}）^{4}+…+n•（\frac{1}{3}）^{n+1}$，②
①-②，得：$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}+（\frac{1}{3}）^{4}+…+（\frac{1}{3}）^{n}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}-n•（\frac{1}{3}）^{n+1}$=$\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}+\frac{n}{3}）•\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{3}{4}-\frac{3+2n}{4}×\frac{1}{{3}^{n}}$．
∵存在m使T_n≥$\frac{3}{4}$-m恒成立，
∴T_n=$\frac{3}{4}-\frac{3+2n}{4}×\frac{1}{{3}^{n}}$≥$\frac{3}{4}$-m恒成立，
∴$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$≤m，
设y=$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$，则y′=$\frac{2-（3+2n）ln3}{4×{3}^{n}}$＜0，∴y=$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$是减函数，
∴[$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$]_max=$\frac{3+2×1}{4×{3}^{1}}$=$\frac{5}{12}$，
∴m≥$\frac{5}{12}$，即m的范围是[$\frac{5}{12}$，+∞）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．