Question

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(-

3

2

，

1

2

)．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函数y=

3

f(

π

2

-2x)-2f2(x)的最大值及对应的x的值．

Answer 1

（Ⅰ）因为角α终边经过点P(-

3

2

，

1

2

)，所以sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，tanα=-

3

3

…（3分）

∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα…(4分) =- 3 2 + 3 3 =- 3 6 …(5分)

（Ⅱ）∵f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R…（7分）

∴y= 3 cos( π 2 -2x)-2cos2x= 3 sin2x-1-cos2x…(9分) =2sin(2x- π 6 )-1…(11分)

∴y_max=2-1=1，…（12分）
此时sin(2x-

π

6

)=1，2x-

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

3

，k∈Z…（13分）