Question

【题目】已知直线x﹣9y﹣8=0与曲线C：y=x3﹣px2+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（ ）
A.4
B.4或﹣3
C.﹣3或﹣1
D.﹣3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由y=x3﹣px2+3x，得y′=3x2﹣2px+3，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12﹣2px1+3，
3x22﹣2px2+3，
∵曲线C在A，B处的切线平行，
∴3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3，
令3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，
∴x1 ， x2是方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根，
则x1+x2= p，
下面证线段AB的中点在曲线C上，
∵
=
= =p﹣ p3 ，
而（ ）3﹣p（ ）2+3 = p3﹣ p3+p
=p﹣ p3 ，
∴线段AB的中点在曲线C上，
由x1+x2= p，知线段的中点为（ p， （ p﹣8）），
∴﹣ + p=p﹣ p3 ， 解得p=﹣1，﹣3或4．
当p=﹣1时，y=x3+x2+3x的导数为y′=3x2+2x+3＞0恒成立，
即函数为递增函数，直线与曲线只有一个交点，舍去；
p=﹣3，或4时，y=x3﹣px2+3x不单调，成立．
故选：B．