Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图与直观图如图所示，其中主视图AA₁B₁B和左视图B₁BCC₁均为矩形，在俯视图△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，B₁C₁=4，
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：BC⊥AC₁；
（2）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积．

Answer 1

考点：简单空间图形的三视图

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱，结合勾股定理可得BC⊥AC，进而由线面垂直的判定定理和性质得到BC⊥AC₁；
（2）设左视图中BC的长等于底面△ABC中顶点C到边AB的距离d，求出d后，代入三角形面积公式，可得答案．

解答： 证明：（1）因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱，…2分
在俯视图△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，B₁C₁=4，
∴A₁C₁²+B₁C₁²=A₁B₁²，
∴∠A₁C₁B₁=90°，
∴BC⊥AC…4分
又∵BC⊥CC₁，CC₁∩A₁C₁=C₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．…6分
∵AC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁．…8分
解：（2）左视图中BC的长等于底面△ABC中顶点C到边AB的距离d，
d=

3×4

5

=

12

5

，…10分
∴左视图的面积S=

12

5

×5=12．…12分．

点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，线面垂直与线线垂直的转化，是空间线面关系与三视图的简单综合应用，难度不大，属于基础题．