Question

若曲线f（x，y）=0（或y=f（x））在其上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线存在自公切线的序号为

 

（填上所有正确的序号），①y=x²-|x|；②y=|x²-x|；③y=3sinx+4cosx；④x²-y² ；⑤|x|+1=

4-y2

．

Answer 1

分析：通过画出函数图象，观察其图象是否满足在其上两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线．

解答：解：函数 y=x²-|x|的图象如下左图显然满足要求；
函数 y=|x²-x|不存在自公切线；
函数y=3sinx+4cosx的一条自公切线为y=5；
x²-y² =1为等轴双曲线，不存在自公切线．  
而对于方程|x|+1=

4-y2

，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求；
  
故答案为：①③

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及新定义自公切线，题目比较新颖，解题的关键是理解新的定义，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．