Question

已知向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），若向量

a

与

b

的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα+

1

2

=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

的位置关系是（　　）

• A、相交
• B、相切
• C、相离
• D、相交且过圆心

Answer 1

分析：本题考查的知识点是平面微量的数量积运算，及直线与圆的位置关系，由已知中直线xcosα-ysinα+

1

2

=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

的方程，我们易得到圆心到直线距离d的表达式，再由向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），若向量

a

与

b

的夹角为60°，我们可以计算出d值，与圆半径比较，即可得到答案．

解答：解：∵圆的方程为(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

∴圆心坐标为（cosβ，-sinβ），半径为

2

2

则圆心到直线xcosα-ysinα+

1

2

=0距离
d=|cosαcosβ+sinαsinβ+

1

2

|=|cos（α-β）+

1

2

|
又∵

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），向量

a

与

b

的夹角为60°，
则

a

•

b

=6cosαcosβ+6sinαsinβ=2×3×

1

2

=3
即cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

∴d=|

1

2

+

1

2

|=1＞

2

2

，
故圆与直线相离．
故选C

点评：若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则：
①当d＜r时，圆与直线相交；
②当d=r时，圆与直线相切；
③当d＞r时，圆与直线相离．