Question

1．已知圆C：（x-3）²+（y-2）²=2，直线l：（m+1）x+（m-1）y-4m=0．
（1）证明：直线l与圆C相交；
（2）若直线l与圆C相交于M、N，求MN的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）直线l：（m+1）x+（m-1）y-4m=0可化为m（x+y-4）+（x-y）=0，解方程组，可得直线l恒过定点，即可证明直线l与圆C相交；
（2）直线l被圆C截得的弦长的最长时，直线过圆心；直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，CA的斜率为0，l∥y，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．

解答 （1）证明：直线l：（m+1）x+（m-1）y-4m=0可化为m（x+y-4）+（x-y）=0
令$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得x=y=2，∴直线l恒过定点A（2，2）
∵（2-3）²+（2-2）²=1＜2
∴A在圆内，∴不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点；
（2）解：直线l被圆C截得的弦长的最长时，直线过圆心，最大值为2$\sqrt{2}$
直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l
∵圆C：（x-3）²+（y-2）²=2，圆心C（3，2），半径为$\sqrt{2}$
∴CA的斜率为0，
∴l∥y，
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2$\sqrt{2-1}$=2．

点评 本题考查直线恒过定点，考查弦长的计算，解题的关键是掌握圆的特殊性，属于中档题．