Question

休假次数	0	1	2	3
人数	5	10	20	15

某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：
根据上表信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x²-ηx-1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由题意有函数f（x）=x²-ηx-1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；
（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．

解答：解：（1）函数f（x）=x²-ηx-1过（0，-1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有

f(4)＜0 f(6)＞

0，解得：

15

4

＜η＜

35

6

，
所以，η=4或η=5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当η=4时，P1=

C 2 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

68

245

，
当η=5时，P2=

C 1 20 C 1 15

C 2 50

=

12

49

，
又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，
所以P=P1+P2=

68

245

+

12

49

=

128

245

；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，
于是P(ξ=0)=

C 2 5 +C 2 10 + C 2 20 +C 2 15

C 2 50

=

2

7

P(ξ=1)=

C 1 5 C 1 10 + C 1 10 C 1 20 + C 1 15 C 1 20

C 2 50

=

22

49

，
P(ξ=2)=

C 1 5 C 1 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

10

49

，
P(ξ=3)=

C 1 5 C 1 15

C 2 50

=

3

49

，
从而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	2 7	22 49	10 49	3 49

ξ的数学期望：Eξ=0×

2

7

+1×

22

49

+2×

10

49

+3×

3

49

=

51

49

．

点评：此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．