Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R上的奇函数．
（1）求k的值．
（2）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0试求不等式f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（3）若f(1)=

3

2

，且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求m．

Answer 1

分析：（1）由奇函数性质得f（0）=0，解出即可；
（2）由f（1）＞0易知a＞1，从而可判断f（x）的单调性，由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；
（3）由f（1）=

3

2

可求得a值，g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，令t=f（x）=2^x-2^-x，g（x）可化为关于t的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为-2，解出即可；

解答：解：（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，∴k-1=0，∴k=1，经检验k=1符合题意；
（2）∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1，
易知在R上单调递增，
原不等式化为：f（x²+2x）＞f（4-x），∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}；
（3）∵f(1)=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-

1

2

（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，∵x≥1，∴t≥f(1)=

3

2

，
∴g（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，
当m≥

3

2

时，当t=m时，g(t)min=2-m2=-2，∴m=2；
当m＜

3

2

时，当t=

3

2

时，g(t)min=

17

4

-3m=-2，
解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去，
综上可知m=2．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，考查二次函数的最值问题，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．