Question

已知数列{a_n}中，，对一切n∈N₊，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证数列{b_n}是等比数列，并求通项b_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在常数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ若不存在，则说明理由．

Answer 1

解：（ I）由已知得 ，∵，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴．
数列{b_n}是以为首项以为公比的等比数列，b_n=．
（Ⅱ）因为b_n=，
∴a_n+1-a_n=1，a₂-a₁=1；a₃-a₂=，…，a_n+1-a_n=1，
将以上各式相加得：a_n-a₁=n+1-，
a_n=n--=．
（Ⅲ）存在λ=2，使得数列为等差数列，
∵S_n=a₁+a₂+…+a_n
=+（1+2+…+n）-2n
=
=．
．
数列是等差数列的充要条件是、B是常数）
即，
又=
则=0，当λ=2时，上式成立．
所以存在常数λ=2，使得数列为等差数列．
分析：（Ⅰ）通过已知条件求出a1，a2，利用b_n=a_n+1-a_n-1，得到b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，推出为常数，说明是等比数列，然后求解通项b_n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出的b_n，利用累加法以及等比数列求和公式，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）求出数列{a_n}、{b_n}的前n项和S_n、T_n，利用数列为等差数列的充要条件，化简数列，求出λ的值即可．
点评：本题参考数列是等比数列的判定，通项公式的求法，前n项和的求法，考查分析问题解决问题的能力．