Question

【题目】已知抛物线：（）.

（1）若抛物线的焦点到准线的距离为4，点，在抛物线上，线段的中点为，求直线的方程；

（2）若圆以原点为圆心，1为半径，直线与，分别相切，切点分别为，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由距离为4可求出进而可求出抛物线的方程.设，，代入到抛物线方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出的斜率，结合直线的点斜式，可求出直线的方程.

（2）设直线的方程为（），与抛物线、圆的方程联立，结合相切，可求，.设，通过切点既在直线上又在抛物线上，可求出，，从而，结合基本不等式，可求出有最小值.

解：（1）由抛物线的焦点到准线的距离为4，得.所以抛物线的方程为.

设，，则，所以，即

.因为线段的中点的坐标为，

所以且.所以.

故直线的方程为，即直线的方程为

经检验符合题意.

（2）设直线的方程为（）.代入，得.（*）

由直线与抛物线相切可知，，故.①

又直线与圆相切，所以，即.②

联立①②，得，故.

设，解（*）式可得，，从而.

故，

当且仅当时，有最小值，为.