Question

已知函数f（x）=x²+4x+5，若二次函数y=g（x）满足：①y=f（x）与y=g（x）的图象在点P（1，10）处有公共切线；②y=f（x）+g（x）是R上的单调函数．则g（x）=

 

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Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：先根据f（x）求出在点P（1，10）的切线，再由y=f（x）+g（x）是R上的单调函数设g（x）=-x²+bx+c，再根据两个函数在该点求导有f′（1）=g′（1）．再由点在y=g（x）上求得c．

解答： 解：由f（x）=x²+4x+5，得到f′（x）=2x+4，
∴f′（1）=6，
设g（x）=-x²+bx+c，则有g′（x）=2ax+b，则有g′（1）=-2+b=6，即b=8．
又点P（1，10）也在y=g（x）上，有-1²+8×1+c=10，∴c=3．
∴g（x）=-x²+8x+3
故答案为：-x²+8x+3

点评：本题考查二次函数解析式，还考查了导数求切线的知识点．