Question

已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：由， 得.        ………2分
依题意△是等腰直角三角形，从而，故. …………4分
所以椭圆的方程是.                 ……5分
（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.  
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去得.          ……7分
所以，.             ……8分
若平分，则直线，的倾斜角互补，
所以.                                        …………9分
设，则有.
将，代入上式，
整理得，
所以.       ………………12分
将，代入上式，
整理得.               ……………13分
由于上式对任意实数都成立，所以.
综上，存在定点，使平分.  …………14分

略