精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若(a2-1)3+2010(a2-1)=1,(a2009-1)3+2010(a2009-1)=-1
,下列为真命题的序号为(  )
①S2009=2009;②S2010=2010;③a2009<a2;④S2009<S2
A.①②B.②③C.②④D.③④

分析 由题意可判断a2>1,0<a2009<1,0<a2009<1<a2,从而公差d<0可判断③,两式相加整理可得a2+a2009=2,利用等差数列的性质可知a1+a2010=a2+a2009=2可判断①②,由公差d<0 可得a2+a2008>a2+a2009>a2+a2010,结合等差数列的性质,可得2a1005>2>2a1006,从而可得0<a1006<1<a1005,可判断④的正误.

解答 解:由(a2-1)3+2010(a2-1)=1,(a2009-1)3+2010(a2009-1)=-1
可得a2-1>0,-1<a2009-1<0即a2>1,0<a2009<1,
故可得等差数列的公差d<0,选项③a2009<a2正确;
把已知的两式相加可得(a2-1)3+2010(a2-1)+(a2009-1)3+2010(a2009-1)=0
整理可得(a2+a2009-2)•[(a2-1)2+(a2009-1)2-(a2-1)(a2009-1)+2010]=0
结合上面的判断可知(a2-1)2+(a2009-1)2-(a2-1)(a2009-1)+2010>0
故有a2+a2009=2,S2010=$\frac{2010({a}_{1}+{a}_{2010})}{2}$=2010•$\frac{{a}_{2}+{a}_{2009}}{2}$=2010,故选项②正确;
由于d<0,a2010<a2009<1,则S2009=S2010-a2010=2010-a2010>2009,故选项①错误;
由公差d<0 可得a2+a2008>a2+a2009>a2+a2010,结合等差数列的列的性质,
可得2a1005>2>2a1006,从而可得0<a1006<1<a1005,故s2009-s2=a3+a4+…+a2009=2007a1006>0,即选项④错误.
故选:B

点评 本题考查了等差数列的性质和求和公式,灵活利用结论是解决问题的关键,属中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.已知关于x的方程x2-2x-3k-2=0的两个实数根,一个根小于1,另一个根大于1,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

14.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数y=logc(x+2)+2(c>0且c≠1)的图象恒过同一个定点,则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,设复数$z=\frac{z_1}{z_2}$,则z的共轭复数为(  )
A.$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$B.$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$C.1-3iD.1+3i

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

18.设集合A={x|x|x2-x-2≥0},B={x|x>a},若A∩B={x|x≥2},则所有实数a组成的集合为(  )
A.{a|a≥2}B.{a|a≤2}C.{a|-1≤a≤2}D.{a|-1≤a<2}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

8.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.
(1)求证:直线MF∥平面ABCD;
(2)求证:直线MF⊥面ACC1A1
(3)求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.已知a,b,c>0,a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.已知圆C过点O(0,0)和点A(-2,2),且圆心C在x轴上.
(1)求圆C的方程;
(2)设定点M的坐标为(-1,0);
(i)若过点M的任意直线l与圆C相交于P、Q两点,求$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范围;
(ii)若点R是圆C上的任意一点,问:在x轴上是否存在定点N使得|RN|=2|RM|,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

13.设函数f(x)=x3+ax2+4a为奇函数,则实数a=0.

查看答案和解析>>

同步练习册答案