Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB=AD=1，DD₁=CD=2，AB⊥AD．
（I）求证：BC⊥面D₁DB；
（II）求D₁B与平面D₁DCC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：法一：（I）要证BC⊥面D₁DB，只需证明直线BC垂直面D₁DB内的两条相交直线D₁D、DB即可；
（II）取DC中点E，连接BE，D₁E．说明∠BD₁E为所求角，解三角形D₁BE，求D₁B与平面D₁DCC₁所成角的大小．
法二：建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，
（I）计算

BC

•

DD1

=0 ， 

BC

•

DB

=0就证明了直线BC垂直面D₁DB内的两条相交直线D₁D、DB，从而证明BC⊥面D₁DB．
（II）求出

D1B

和平面D₁DCC₁的法向量，计算|cos＜

D1B

，

m

＞|=|

D1B • m

| D1B || m |

|，即可求D₁B与平面D₁DCC₁所成角的大小．

解答：解：解法一：
（I）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
∴D₁D⊥平面ABCD，
∴BC⊥D₁D．
∵AB∥CD，AB⊥AD．
∴四边形ABCD为直角梯形，
又∵AB=AD=1，CD=2，
可知BC⊥DB．
∵D₁D∩DB=D，
∴BC⊥平面D₁DB．（6分）
（II）取DC中点E，连接BE，D₁E．
∵DB=BC，
∴BE⊥CD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
∴ABCD⊥D₁DCC₁．
∴BE⊥D₁DCC₁．
∴D₁E为D₁B在平面D₁DCC₁上的射影，
∴∠BD₁E为所求角．
在Rt△D₁BE中，BE=1，D1E=

5

．tan∠BD1E=

BE

D1E

=

5

5

．
∴所求角为arctan

5

5

．（14分）
解法二：
（I）证明：如图建立坐标系D-xyz，D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2）．
∴

BC

=(-1，1，0)，

DD1

=(0，0，2)，

DB

=(1，1，0)．
∵

BC

•

DD1

=0 ， 

BC

•

DB

=0，
∴BC⊥DD₁，BC⊥DB．
∵D₁D∩DB=D，
∴BC⊥平面D₁DB．（6分）
（II）

D1B

=(1，1，-2)，A(1，0，0)，

DA

=(1，0，0)．
∵AD⊥平面D₁DCC₁，
∴平面D₁DCC₁的法向量

m

=(1，0，0)，
∵|cos＜

D1B

，

m

＞|=|

D1B • m

| D1B || m |

|=

1

6 ×1

=

6

6

．
∴D₁B与平面D₁DCC₁所成角的大小为arcsin

6

6

．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．