已知数列{an}满足a1=a(a>0,a∈N*),a1+a2+…+an-pan+1=0(p≠0,p≠-1,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若对每一个正整数k,若将ak+1,ak+2,ak+3按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列,且公差为dk.①求p的值及对应的数列{dk}.
②记Sk为数列{dk}的前k项和,问是否存在a,使得Sk<30对任意正整数k恒成立?若存在,求出a的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)an=(2)①p=-,dk=9a·2k-1或p=-,dk=k-1②a=13.
【解析】(1)因为a1+a2+…+an-pan+1=0,所以n≥2时,a1+a2+…+an-1-pan=0,两式相减,得 (n≥2),故数列{an}从第二项起是公比为的等比数列,又当n=1时,a1-pa2=0,解得a2=,
从而an=
(2)①由(1)得ak+1=k-1,ak+2=k,ak+3=k+1,
若ak+1为等差中项,则2ak+1=ak+2+ak+3,
即=1或=-2,解得p=-;
此时ak+1=-3a(-2)k-1,ak+2=-3a(-2)k,
所以dk=|ak+1-ak+2|=9a·2k-1,
若ak+2为等差中项,则2ak+2=ak+1+ak+3,即=1,此时无解;
若ak+3为等差中项,则2ak+3=ak+1+ak+2,即=1或=-,
解得p=-,
此时ak+1=-k-1,ak+3=-k+1,所以dk=|ak+1-ak+3|=k-1,
综上所述,p=-,dk=9a·2k-1或p=-,dk=k-1.
②当p=-时,Sk=9a(2k-1).
则由Sk<30,得a<,
当k≥3时,<1,所以必定有a<1,
所以不存在这样的最大正整数.
当p=-时,Sk=,
则由Sk<30,得a<,因为>,所以a=13满足Sk<30恒成立;但当a=14时,存在k=5,使得a>即Sk<30,
所以此时满足题意的最大正整数a=13
科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习真题感悟江苏专用常考问题2练习卷(解析版) 题型:填空题
若数列{an}的前n项和为Sn=an+,则数列{an}的通项公式是an=________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用阶段检测5练习卷(解析版) 题型:填空题
给出如下10个数据:63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图,其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用阶段检测4练习卷(解析版) 题型:填空题
双曲线C:x2-y2=1,若双曲线C的右顶点为A,过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点,且=2,则直线l的斜率为________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用阶段检测4练习卷(解析版) 题型:填空题
已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则它的离心率为________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用阶段检测3练习卷(解析版) 题型:解答题
已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.
(1)对任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;
(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用阶段检测3练习卷(解析版) 题型:填空题
已知实数a,b,c,d成等比数列,且函数y=ln(x+2)-x,当x=b时取到极大值c,则ad等于________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用阶段检测2练习卷(解析版) 题型:填空题
在△ABC所在的平面上有一点P满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用9练习卷(解析版) 题型:填空题
设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=________.
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