Question

7．在△ABC中，$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{b}{2a+c}$，
（1）求B；
（2）$b=\sqrt{13}，a+c=4$，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简后，根据和与差的公式可得B的大小．
（2）根据余弦定理建立关系，求出ac的值，即可得S_△ABC的值．

解答 解：（1）由$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{b}{2a+c}$，
根据正弦定理，可得：$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，
2cosBsinA+cosBsinC=-sinBcosC，
即2cosBsinA=-sinA
∵0＜A＜π，sinA≠0．
∴cosB=$-\frac{1}{2}$
∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{2π}{3}$
（2）$b=\sqrt{13}，a+c=4$，由余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
可得：-ac=a²+c²-13，即（a+c）²-ac-13=0
得：ac=3
那么三角形的面积${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和和与差公式的运用，考查运算能力，属于基础题．