Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为 （θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵双曲线E的参数方程为 （θ为参数），

∴ ， ，

∴ = =1，

∴双曲线E的普通方程为 ．

∴直线l在直角坐标系中的方程为y= ，其过原点，倾斜角为 ，

∴l的极坐标方程为 ．

（2）解：由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），

∵AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，

由（Ⅰ）知，|OF|=2，

又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，

∴∠AFO= ，|AF|=4，

于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为（2， ），

∴圆C的极坐标方程为 ，

此时，点P的极坐标为（4cos（ ）， ），即（2 ， ）．

【解析】（1）由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为 ．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为（2， ），由此能求出点P的极坐标．