Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC中点．
（Ⅰ）在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置（不要求给出理由）；
（Ⅱ）在线段CD上是否存在一点E，使得直线AE与平面ADM所成角的正弦值为 ，若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角A﹣MD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）过M作MN∥BC，交PB于点N，连接AN，如图，
则点N为平面ADM与PB的交点N（在图中画出）
由M为PC中点，得N为PB的中点．
（Ⅱ）因为四棱锥P﹣ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，
以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP所在直线建立空间直角坐标系如图所示：
则A（0，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），M（1， ），
设在线段CD上存在一点E（x，1，0），则
设直线AE与平面AMD所成角为θ，平面AMD的法向量为 ，
则 ，即 ，令z=2，则 ，
因为直线AE与平面ADM所成角的正弦值为 ，
所以 ，所以x=1
所以在线段CD上存在中点E，
使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为
（Ⅲ）设平面CMD的法向量 ，
则 ，即 ，令z′=﹣1，则y′=﹣1，
所以
所以 ，
由图形知二面角A﹣MD﹣C的平面角是钝角，
所以二面角A﹣MD﹣C的平面角的余弦值为

【解析】（Ⅰ）过M作MN∥BC，交PB于点N，由此求出结果．（Ⅱ）以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP所在直线建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段CD上存在中点E，使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为 ．（Ⅲ）求出平面CMD的法向量和平面AMD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A﹣MD﹣C的平面角的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．