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    【题目】如图所示，在中.，过作于延长到，使.沿将折起，将折到点的位置使平面平面.

    （1）求证：平面平面；

    （2）求二面角的余弦值.

    【答案】（1）证明见解析；（2）

    【解析】

    根据题意,利用线面垂直的判定定理证明平面,再利用面面垂直的判定定理即可得证;

    由题意知,平面由线面垂直的性质知,两两垂直，以为原点，方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量,则向量所成角的余弦值或其相反数即为所求.

    折到位置的过程中，.

    又,,

    所以平面而平面

    平面平面

    平面平面平面平面

    平面

    所以两两垂直，以为原点，

    方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，

    可得:，，

    设平面的一个法向量为，

    则

    令可得:，

    设平面的一个法向量为，

    则

    可得:，

    故，

    故二面角的余弦值为.

    练习册系列答案
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    A.他们健身后，体重在区间内的人数较健身前增加了人

    B.他们健身后，体重原在区间内的人员一定无变化

    C.他们健身后，人的平均体重大约减少了

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    （1）已知抽取的名学生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人数.

    （2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下列联表.

    选择“物理”

    选择“地理”

    总计

    男生

    10

    女生

    25

    总计

    （i）请将列联表补充完整，并判断是否有以上的把握认为选择科目与性别有关系.

    （ii）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率.

    附：，其中.

    0.05

    0.01

    3.841

    6.635

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    （1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人数；

    （2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调杳（假定每名学生在这两个科目中必须洗择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

    性别

    选择物理

    选择历史

    总计

    男生

    50

    女生

    30

    总计

    （3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.

    附：，其中.

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    ②求三棱锥的体积.

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