Question

（2012•天津）设m，n∈R，若直线l：mx+ny-1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x²+y²=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为

3

．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m²+n²的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式变形后，将m²+n²的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值．

解答：解：由圆x²+y²=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
∵直线l与圆x²+y²=4相交所得弦CD=2，
∴圆心到直线l的距离d=

r2-( CD 2 )2

=

3

，
∴圆心到直线l：mx+ny-1=0的距离d=

1

m2+n2

=

3

，
整理得：m²+n²=

1

3

，
令直线l解析式中y=0，解得：x=

1

m

，
∴A（

1

m

，0），即OA=

1

|m|

，
令x=0，解得：y=

1

n

，
∴B（0，

1

n

），即OB=

1

|n|

，
∵m²+n²≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，
∴|mn|≤

m2+n2

2

，
又△AOB为直角三角形，
∴S_△ABC=

1

2

OA•OB=

1

2|mn|

≥

1

m2+n2

=3，
则△AOB面积的最小值为3．
故答案为：3

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题．