【题目】已知函数,.
(Ⅰ)当时,求的图象在点处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,讨论函数的零点个数.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据导数的几何意义求出斜线的斜率,然后根据点斜式方程可得结果.(Ⅱ)根据函数的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状,在此基础上判断出零点的个数.
(Ⅰ)当时,,
所以,
所以.
又.
所以函数的图象在点处的切线方程为,
即.
(Ⅱ)由题意得,定义域为,
则.
(i)当时,对于任意的恒成立,故在上单调递减,
令,则,.
又,
所以在上有唯一零点.
(ii)当时,令,得.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故.
①若,,函数无零点;
②若,,函数有唯一零点;
③若,,
令,
则.
令,
则
.
所以函数在,上各有一零点,从而函数有两个零点.
综上可得:当时,函数没有零点;当或时,函数有唯一零点;当时,函数有两个零点.
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【题目】已知集合,其中,.如果集合满足:对于任意的,都有,那么称集合具有性质.
(Ⅰ)写出一个具有性质的集合;
(Ⅱ)证明:对任意具有性质的集合,;
(Ⅲ)求具有性质的集合的个数.
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【题目】如图1,在边长为3的菱形中,已知,且.将梯形沿直线折起,使平面,如图2,分别是上的点.
(1)求证:图2中,平面平面;
(2)若平面平面,求三棱锥的体积.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)若,求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线有两个不同的交点,求的取值范围.
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【题目】如图,五边形ABSCD中,四边形ABCD为矩形,AB=1,△BSC为边长为2的正三角形,将△BSC沿BC折起,使得侧面SAD垂直于平面ABCD,E、F分别为SA、DC的中点.
(1)求证:EF∥面SBC;
(2)求四棱锥S﹣ABCD的侧面积.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,O为AD中点,AB=1,AD=2,AC=CD=.
(1)证明:直线AB∥平面PCO;
(2)求二面角P-CD-A的余弦值;
(3)在棱PB上是否存在点N,使AN⊥平面PCD,若存在,求线段BN的长度;若不存在,说明理由.
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【题目】某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,,,,,(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.
(1) 经计算估计这组数据的中位数;
(2)现按分层抽样从质量为,的芒果中随机抽取个,再从这个中随机抽取个,求这个芒果中恰有个在内的概率.
(3)某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有个,经销商提出如下两种收购方案:
A:所以芒果以元/千克收购;
B:对质量低于克的芒果以元/个收购,高于或等于克的以元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
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【题目】某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题,计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为10000公寓楼(每层的建筑面积相同).已知士地的征用费为,土地的征用面积为第一层的倍,经工程技术人员核算,第一层建筑费用为,以后每增高一层,其建筑费用就增加,设这幢公寓楼高层数为n,总费用为万元.(总费用为建筑费用和征地费用之和)
(1)若总费用不超过835万元,求这幢公寓楼最高有多少层数?
(2)试设计这幢公寓的楼层数,使总费用最少,并求出最少费用.
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