Question

关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
①函数y=f（x）的最小正周期为π；
②直线x=

π

4

是y=f（x）的一条对称轴；
③点(

π

8

，0)是y=f（x）的图象的一个对称中心；
④将y=f（x）的图象向左平移

π

4

个单位，可得到y=

2

sin2x的图象．
其中真命题的序号是（　　）

A．①③

B．①④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：将三角函数进行化简，利用三角函数的图象和性质分别进行判断．

解答：解：①∵f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，∴周期T=

2π

2

=π，∴①正确．
②当x=

π

4

时，f(

π

4

)=

2

sin(2×

π

4

-

π

4

)=

2

sin

π

4

=

2

×

2

2

=2，不是最大值，∴②错误．
③当x=

π

8

时，f(

π

8

)=

2

sin(2×

π

8

-

π

4

)=

2

sin(

π

4

-

π

6

)=

2

sin0=0，∴点(

π

8

，0)是y=f（x）的图象的一个对称中心，∴③正确．
④将y=f（x）的图象向左平移

π

4

个单位，得到y=

2

sin[2(x+

π

4

)-

π

4

]=

2

sin(2x-

π

4

)，∴④错误．
故真命题为①③．
故选A．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的周期，对称和奇偶性进行分别判断，要求熟练掌握三角函数的这些性质．