精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(理)已知平面内动点P(x,y)到定点F(
5
,0)
与定直线l:x=
4
5
的距离之比是常数
5
2

( I)求动点P的轨迹C及其方程;
( II)求过点Q(2,1)且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程.
分析:( I)利用双曲线定义,可知到定点F(
5
,0)
与定直线l:x=
4
5
的距离之比是常数
5
2
的点的轨迹为双曲线,在利用求双曲线方程的方法去解即可.
( II)与双曲线C有且仅有一个公共点的直线有两种,一种是与双曲线相切,一种是平行渐近线,分两种情况考虑即可.
解答:解:( I)∵
5
2
>1

∴轨迹C为以F为右焦点,l为右准线的双曲线.
设双曲线C方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,则
c=
5
a2
c
=
4
5

∴a2=4.
∴b2=c2-a2=5-4=1.
∴双曲线方程为
x2
4
-y2=1

(Ⅱ)(1)若所求直线斜率不存在时,直线x=2满足题意.
(2)若所求直线斜率存在时,设所求直线方程为y-1=k(x-2),
代入曲线方程
x2
4
-y2=1
,得:
x2
4
-(kx-2k+1)2=1

化简得:(1-4k2)x2+8k(2k-1)x-4(2k-1)2-4=0,
①当(1-4k2)=0时,即k=±
1
2
时,
∵(2,1)在渐近线y=
1
2
x
上,∴k=
1
2
时不适合,舍去.k=-
1
2
时,直线平行于渐近线y=-
1
2
x
,满足题意,
故所求直线方程为y=-
1
2
(x-2)+1
,即y=-
1
2
x+2

②当(1-4k2)≠0时,由△=64k2(2k-1)2-16(4k2-1)(4k2-4k+2)=0,
k=
1
2
(舍去),综上所述,所求直线方程为x=2,y=-
1
2
x+2
点评:本题考查了双曲线方程的求法,以及直线与双曲线位置关系的判断,计算量较大,应认真计算.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:2007年综合模拟数学卷七 题型:013

(理)已知平面内有一固定线段AB,长度为4,O为线段AB中点,动点P满足|PA|-|PB|=3,则PO的最小值为.

[  ]

A.3

B.2

C.

D.1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(09年西城区抽样理)(14分)

   已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射,点在映射f下的象为点,记作.

,. 如果存在一个圆,使所有的点都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地,当时,则称点为映射f下的不动点.

    (Ⅰ) 若点在映射f下的象为点.

  1 求映射f下不动点的坐标;

  2 若的坐标为(1,2),判断点是否存在一个半径为3的收敛圆,并说明理由.

(Ⅱ) 若点在映射f下的象为点,(2,3). 求证:点存在一个半径为的收敛圆.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(理)已知平面内动点P(x,y)到定点F(
5
,0)
与定直线l:x=
4
5
的距离之比是常数
5
2

( I)求动点P的轨迹C及其方程;
( II)求过点Q(2,1)且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省淮安市盱眙县高一(上)第二次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

(理)已知平面内动点P(x,y)到定点与定直线l:的距离之比是常数
( I)求动点P的轨迹C及其方程;
( II)求过点Q(2,1)且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案