Question

8．如图，在以AE=2为直径的半圆周上，B，C，D分别为弧AE的四等分点．
（1）以O为起点，从A，B，C，D，E这5个点中任取一点为终点得到一个向量$\overrightarrow{a}$，求满足$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影为正的概率；
（2）以O为起点，从A，B，C，D，E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，求这两个向量垂直的概率．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影为正的事件个数，进而根据概率定义，计算即可；
（2）通过列举法，列出所有满足条件的向的基本事件数，然后观察符合条件的基本事件，计算即可．

解答 解：（1）以O点为起点，从A，B，C，D，E，这5个点中任取一点为终点得到一个向量$\overrightarrow{a}$，
所有的基本事件有：$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$，共5个；
其中满足$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影为正的有$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，共2个；
∴满足$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影为正的概率P=$\frac{2}{5}$；
（2）以O点为起点，从A，B，C，D，E，这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量所有的基本事件有：
（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$），（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$），（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$），（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}$），（$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$），
（$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OD}$），（$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OE}$），（$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$），（$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OE}$），（$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$），共10个，
其中这两个向量垂直的有：（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$），（$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OD}$），（$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OE}$），共3个，
故这两个向量垂直的概率P=$\frac{3}{10}$．

点评 本题主要考查了概率的求法以及向量的有关知识，属于基础题．