Question

如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA₁=AB=6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB₁∥平面BC₁D；
（2）求证：平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（3）求三棱锥C﹣BC₁D的体积．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

解析试题分析：
解题思路：（1）构造三角形的中位线，得出线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）利用线面垂直的性质及等边三角形的三线合一得出线线垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证明；（3）合理转化三棱锥的顶点求体积.
规律总结：证明空间中的线线、线面、面面的平行、垂直关系，关键合理选择性质定理或判定定理，进行三者之间的相互转化，线线关系是关键；求几何体的体积，要合理选择顶点与底面，以便容易求得高与面积.
试题解析：（1）证明：连接B₁C交BC₁于点O，连接OD，则点O为B₁C的中点．
∵D为AC中点，得DO为△AB₁C中位线，∴A₁B∥OD．

∴直线AB₁∥平面BC₁D；
（2）证明：∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点
∴BD⊥AC
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
,;
（3）由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，
∴S_△BCD==，
∴V_C﹣BC1D=V_C1﹣BCD=••6=9.

考点：1.空间中的平行与垂直的判定；2.空间几何体的体积.