Question

【题目】若，不等式恒成立，则正实数的取值范围是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

由题意可得（eλx ）min≥0，设f（x）＝eλx，x＞0，求出导数和单调区间、极小值点m和最小值点，可令最小值为0，解方程可得m，λ，进而得到所求最小值．

实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx0恒成立，

即为（eλx ）min≥0，

设f（x）＝eλx，x＞0，f′（x）＝λeλx，

令f′（x）＝0，可得eλx，

由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，

可得y＝eλx和y有且只有一个交点，

设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；

当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．

即有f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值．

即有eλm，令eλm0，

可得m＝e，λ．

则当λ时，不等式eλx0恒成立．

故答案为.