Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，PA⊥平面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：OM∥平面PAB；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）利用中位线定理证明OM∥PB，即可证明OM∥平面PAB；
（2）由线线垂直证明BD⊥平面PAC，再证明平面PBD⊥平面PAC．

解答 解：（1）证明：在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，
所以OM∥PB，
因为OM?平面PAB，
PB?平面PAB，
所以OM∥平面PAB；
（2）证明：因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD；
因为底面ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
又因为AC?平面PAC，
PA?平面PAC，AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC，
因为BD?平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了推理与证明能力，是基础题目．