Question

如图，抛物线

（I）；
（II）

Answer 1

（I）p=2（II）

（I），该抛物线上任意一点的切线斜率为
，即
故，切线MA的方程为，又因为点
 ，代入抛物线得
联立解得p=2
（II）设，由N为线段AB的中点可得
，切线MA,MB的方程为
，，两式联立求得交点M的坐标
由，再由
可得，经检验当A,B重合于坐标原点是方程也满足，因此AB中点N的轨迹方程为

第一小题主要是要求学生把题目所给的抛物线方程转化成二次函数，从而想到切线的斜率即为该点的导数值，求得切点坐标，写出切线方程，进而求得p的值。
第二小题主要是寻找点M与点N的关系，通过设出各点的坐标，充分利用点在曲线上及他们之间的关系，代入建立间的关系，最后运用点M在已知曲线上求得x与y的关系。本题在求解过程中注意整体消参的方法。最后不要漏掉对特殊点即原点的考虑。
【考点定位】本题考查抛物线的性质，导数的意义，曲线的方程，整体代入消参求动点的轨迹。